NÚMEROS REALES

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjuntos numéricos. Son conjuntos de números. En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números como: naturales, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos.

Conjuntos numéricos. Son conjuntos de números. En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números como: naturales, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos.

1) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N).
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número infinito de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

2) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS CARDINALES (N*).
N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....} Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

3) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS (Q+)
Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}

Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución dicho conjunto.
Los números fraccionarios son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.

4) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z).
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos.
Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z ¯

Enteros Positivos: Z +

Enteros Positivos y el Cero: Z+ U {0}

Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.
Z = Z - U {0} U Z +

5) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Q.
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros.
Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

6) CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES (I). 

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135....

0,10200300004000005....

7) CONJUNTO DE NÚMEROS REALES (R).
R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}

Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. R= {Q U irracionales}.

8) CONJUNTO DE NÚMEROS IMAGINARIOS (I)

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1.
Debes tener en cuenta:
i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.

9) CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS (C)

La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C

OPERACIONES ENTRE  NÚMEROS REALES

Adición de Números Reales

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a+b=b+aa+b=b+a
al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a=−b+aa+(−b)=(−b)+a=−b+a
Por ejemplo, podemos tomar los dos sumandos, 77  y −11−11. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un término en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podría sumar 7+11 o 11+7 y esperar el mismo resultado que:

7+(−11)=−11+7=−47+(−11)=−11+7=−4
En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.

Sustracción de Números Reales

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−aa−b≠b−a
Donde a+(−b)a+(−b)  si es igual a (−b)+a(−b)+a. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

Multiplicación de números Reales

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=ca×b=c
Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

Ø +⋅+=++⋅+=+

Ø +⋅−=−+⋅−=−

Ø −⋅+=−−⋅+=−

Ø −⋅−=+−⋅−=+

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c−a×−b=c
Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−ca×−b=−c

−a×b=−c−a×b=−c
Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=da×−b×−c=d

a×−b×c=−da×−b×c=−d

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=aa×1=a
Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0a×0=0

División de números Reales

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

a−b=−ab=−aba−b=−ab=−ab
Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

Potenciación de números Reales

La potenciación tiene varias reglas como:

a0=1a0=1

a1=aa1=a
Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am×an=am+nam×an=am+n

am÷an=am−nam÷an=am−n
Potencia de potencia.

(am)n=am×n(am)n=am×n
Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an×bn=(a×b)nan×bn=(a×b)n

an÷bn=(a÷b)nan÷bn=(a÷b)n

Propiedades de Números Reales

Todo número real tiene su inverso, es decir que 8 tiene su inverso -8 así como ππ   tiene a -ππ .
El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.

RELACIÓN DE ORDEN

	En un orden total, orden lineal, orden simple, o simplemente orden en un conjunto X es una relación binaria sobre X que es: reflexiva, transitiva, antisimétrica, y total; esto es, si se denota una tal relación por ≤, lo siguiente vale para cualesquiera a, b, y c en X:

ü  si a pertenece a X, entonces a ≤ a (reflexiva).

ü  Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad).

ü  Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría).

ü  a ≤ b o b ≤ a (totalidad o completitud).

La propiedad de totalidad de esta relación se puede también describir como que todo par de elementos son comparables bajo la relación.

Por tanto, un orden total es un orden parcial que cumple la comparabilidad.

Un conjunto dotado de un orden total se denomina conjunto totalmente ordenado, linealmente ordenado, simplemente ordenado, o cadena.

Nótese que la condición de totalidad implica reflexividad, esto es, a ≤ a para todo a ∈ X; por lo tanto, un orden total es también un orden parcial, esto es, una relación binaria reflexiva, antisimétrica, y transitiva. Un orden total, entonces, puede también definirse como un orden parcial que sea "total", i.e. que cumpla con la condición de totalidad.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí­ por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raí­ces.
Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn, en donde a es un numero real y n es un entero no negativo.   Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.

monomio	binomio	trinomio
5X	5X + 2	χ² + X + 1

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.
 Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
 Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
 Ejemplo:

RAZONES Y PROPORCIONES

Las razones y proporciones, nosotros denominamos razón al cociente que es indicado por dos números y que representa la relación entre dos cantidades y una proporción a la igualdad que existe entre dos o más razones.

Razón. Una razón indica en forma de división la relación entre dos cantidades. Nos indica cuántas unidades hay en relación a las otras, y se suele indicar simplificando las fracciones.

Por ejemplo, si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:

24/18
24:18

Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos:

4/3
4:3
Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3.

Cada uno de los valores de una razón tiene un nombre. El valor que está del lado izquierdo de la relación, se le llama antecedente, y al valor del lado derecho se le llama consecuente.

En este caso, la relación de niñas respecto a los niños es una relación de 4 a 3, o de 4 niñas por cada 3 niños.

Proporción. La proporción indica mediante una igualdad la comparación de dos razones. Para escribir una proporción, debemos tener en cuenta que los valores antecedentes, siempre estén del mismo lado, al igual que los consecuentes.

En nuestro ejemplo del salón de clases, podemos comparar la razón que tenemos, de 4 niñas por cada 3 niños, y podremos calcular cuántos niños hay en un salón en relación al número de niñas o viceversa. Para esto, en primer lugar escribiremos la proporción que ya conocemos:
4:3
Después, un signo de igualdad
4:3=
Y después la cantidad total, por ejemplo la del mismo salón, recordando que debemos respetar el orden del antecedente y del consecuente. En nuestro ejemplo, el antecedente será el número de niñas, y el consecuente el número de niños.
4:3=24:18
Para comprobar la igualdad de la proporción, se efectúan dos multiplicaciones. En una proporción, tomaremos como referencia el signo de igualdad. Los números que están más cercanos, se llaman centros, y los números más lejanos son los extremos. En nuestro ejemplo, los números 3 y 24 son los más cercanos al signo igual, por lo que son los centros. El 4 y el 18, son los extremos. Para comprobar que la proporción es correcta, el producto de la multiplicación de los centros debe ser igual al producto de la multiplicación de los extremos:
3 X 24 = 72
4 X 18 = 72

PROPIEDADES.

A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a×d=b×c

B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de  los eztremos dividido por el otro MEDIO.

b= a×d͟∕c

C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

a=b×c∕d

PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.

EJEMPLO

3. Juan entrena ciclismo. La  siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla

N Vueltas	4	8		20	23		30
Tiempo	12		35			50

PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales.  El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.

Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.

EJEMPLO.

En  una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.

Nª DE GARRAFAS	CAPACIDAD DE GARRAFA (L=	PRODUCTO
10	28	280
20	14	280
40	7	280
70	4	280
140	2	280

Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes número de garrafas y su capacidad en litros  son inversamente proporcionales.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto es una función que representa la distancia de un punto al origen. Si tomamos un punto cualquiera x y este es positivo, la distancia de x al origen 0 es igual a x; si fuera negativo, la distancia de x al origen 0 es igual a -x.

Esto se debe a que una distancia no puede ser negativa, ya que no tendría sentido. Todas las distancias son positivas y por lo mismo, el valor absoluto de un número, que es una distancia, debe ser positivo.

EJEMPLOS: 

"6" está a 6 de cero, y "-6" también está a 6 de cero. Así que el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 también es 6

ü  El valor absoluto de -9 es 9

ü  El valor absoluto de 3 es 3

ü  El valor absoluto de -156 es 156

¡No negativos!

Así que en la práctica el "valor absoluto" significa quitar el signo negativo de delante de un número, y pensar en todos los números como números positivos.

Símbolo de valor absoluto

Para indicar el valor absoluto de algo, pones símbolos "|" a los lados, como en estos ejemplos:

|-5| = 5

|7| = 7

Restar de las dos maneras

No importa en qué orden hagas una resta, su valor absoluto siempre será el mismo:

|8-3| = 5	|3-8| = 5
(8-3 = 5)	(3-8 = -5, y |-5| = 5)

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones. Nota Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica simple:

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple solamente para algunos valores de las letras.
 

ELEMENTOS DE LA  ECUACIÓN

Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual ( =)

Términos: son los monomios de cada miembro.

Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación.

Grado de la ecuación: es el mayor exponente con que figura la incógnita (una vez realizadas todas las operaciones).

Soluciones: son los valores que deben tener las incógnitas para que la igualdad entre los miembros sea cierta.

INECUACIONES

Una inecuación es una relación de desigualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o más incógnita. Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de la incógnita para los que se cumple la relación de desigualdad.

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

Ejemplos

1. 2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

(-∞, 4)

2. 2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

SUCESIONES

Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su condominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)