LOGICA MATEMATICAS

PREPOSICIONES

Las proposiciones forman parte de la forma más simple o elemental de la lógica, y se puede enfocar en la lógica matemática. Esta lógica, no profundiza en los conceptos de las proposiciones, solo se guía en lo ciertas o falsas que sean.

Se le ha denominado como “Lógica de las proposiciones sin analizar” y se puede catalogar como una lógica superficial.

TIPOS DE PROPOSICIÓN:

Las proposiciones se pueden dividir en dos tipos básicos:

1.- PROPOSICIÓN SIMPLE.

En la proposición simple, se da una afirmación con el resultado implícito

a) El gorro azul.

2.-      PROPOSICIÓN COMPUESTA.

En la proposición compuesta se da la proposición lleva las interjecciones o conexiones (y- o) y de esta se pueden separar oraciones como:

a)      El lápiz es rojo o amarillo.
b)      Héctor es comerciante y Víctor es abogado.

Una proposición debe tener la cualidad de ser verdadera o falsa y una oración o concepto que no tiene uno u otro sentido no puede ser considerado como proposición lógica; es así que la lógica proporcional en su concepto previo solo puede tener tres elementos:

ü  Proposición

ü  Valor verdadero o

ü  Valor falso

EJEMPLOS

 1.- PROPOSICIÓN SIMPLE:

1.    Un caballo negro.

2.    Él está dormido.

3.    Mi computadora.

2.- PROPOSICIÓN COMPUESTA:

1.    “El frijol es amarillo o negro” (en esta oración se puede comprobar si el frijol es de un color u otro estando dividida entre amarillo y negro y de éstos se desprende la verdad).

2.    “Su teléfono es negro o rosa” (En esta oración, se puede comprobar si el teléfono es de un color u otro, teniendo sólo dos posibilidades).

3.    “Él está componiendo coches o motocicletas” (Esta oracioón tiene la discrepancia entre el tipo de compostura que hace).

3.- ORACIONES SIN PROPOSICIÓN:

1.    La palabra,  “¡auxilio!” no existe proposición.

2.    La palabra, “Sube” no existe proposición.

3.    La palabra “corre” no tiene proposición.

OPERACIONES LÓGICAS

Una operación lógica asigna un valor (CIERTO o FALSO) a la combinación de condiciones (CIERTO o FALSO) de uno o más factores. Los factores que intervienen en una operación lógica sólo pueden ser ciertos o falsos. Y el resultado de una operación lógica puede ser, tan sólo, cierto o falso. 

Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones compuestas mediante operaciones lógicas.

Las principales operaciones lógicas son: conjunción, disyunción, negación, condicional y Bicondicional.

A cada una de estas operaciones lógicas le corresponde una tabla de verdad.

1.     

p q	p Ù q
V V V F F V F F	V F F F

2.    Conjunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "y" conforman la proposición compuesta llamada conjunción, la cual se simboliza así: p Ù q.

p q	p Ú q
V V V F F V F F	V V V F

3.    Disyunción. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "O" conforman la proposición compuesta llamada disyunción, la cual se simboliza así: p Ú q.

~ p se lee: no p

o también: no es cierto que p

p	~ p
V F	F V

4.    Negación. Dada una proposición simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra proposición llamada negación de p, la cual se simboliza así:

p q	p Þ q
V V V F F V F F	V F V V

5.    Condicional o Implicativa. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "entonces" conforman la proposición compuesta llamada condicional o implicativa, la cual se simboliza así: p Þ q:

6.    Bicondicional. Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico "si y sólo si" conforman la proposición compuesta llamada conjunción, la cual se simboliza así: p « q.

p q	p Û q
V V V F F V F F	V F F V

Por ejemplo, imagínate el sistema de control del toldo de una cafetería, que se gobierna mediante una operación lógica. Para que el motor que extiende el toldo se accione deberá tener en cuenta dos factores: ¿es de día? ¿está lloviendo? Si estos dos factores son ciertos, el motor debe ponerse en marcha y extender el toldo.

De dia - Llueve - Toldo
Falso - Falso - Falso
Falso - Cierto - Falso
Cierto - Falso - Falso
Cierto - Cierto - Cierto 

Los resultados de una operación lógica, para cada uno de los valores posibles de las variables, se fijan en una tabla denominada Tabla de Verdad, como la del ejemplo anterior. 

Para que un procesador pueda ejecutar las operaciones lógicas, es preciso asignar un valor binario a cada una de las condiciones posibles. Se suele asignar un UNO (1) al valor CIERTO y un CERO (0) al valor FALSO, con el criterio denominado lógica positiva. 

Las operaciones lógicas más importantes

son: EQUAL (idéntico), NOT (negación), OR (O), AND (Y), NOR (O negada), NAND (Y negada), OREX (O exclusiva) y NOREX (O exclusiva negada).

CLASES  DE PROPOSICIONES

En adelante cuando hablemos de proposiciones, éstas serán lógicas. Si son abiertas, significará que el conjunto de sustituciones está bien definido y la harán verdadera o falsa. Para operar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas, dependiendo de cómo están conformadas.

PROPOSICIONES SIMPLES

Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.

PROPOSICIONES COMPUESTAS 

Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.

EJEMPLOS

Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:
     1)  Carlos Fuentes es un escritor.                                           (Simple)
     2)  Sen(x) no es un número mayor que 1.                              (Compuesta)
     3)  El 14 y el 7 son factores del 42.                                         (Simple)
     4)  El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.        (Compuesta)
     5)  El 2 o el 3 son divisores de 48.                                          (Simple)
     6)  El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.                      (Compuesta)
     7)  Si x es número primo, entonces x impar.                         (Compuesta)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES LÓGICAS

Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas, para ello consideramos que p, q y r son tres proposiciones cualesquiera. Entonces tenemos los siguiente:

1)  Idempotencia
p˄p ≡ p
p˅p ≡p

2)  Asociatividad
(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)
(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3)  Conmutatividad
p˄q ≡ q˄p
p˅q ≡ q˅p

4)  Distributividad
p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r)
p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5)  Identidad
p˄(F) ≡ (F)
p˅(F) ≡ p
p˄(V) ≡ p
p˅(V) ≡ (V)

6)  Complemento
p˄(~p) ≡ (F)
p˅(~p) ≡ (V)
~(~p) ≡ p
~(V) ≡ (F)
~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes 
(p → q) ≡ (~p ˅ q)
(p → q) ≡ (~q → ~p)
(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)
(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan
~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)
~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)
~(p → q) ≡ (p ˄ ~q)
~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)

Con la ayuda de estas propiedades podemos simplificar proposiciones compuestas o hallar su valor de verdad
Ejemplo

(p ˄ q)     →    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]        

~(p ˄ q)     ˅    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]                           condicionante

(~p ˅ ~q)   ˅    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]                           De Morgan

[(~p ˅ ~q)˅(~p ˅ q)]    ˄   [(~p ˅ ~q) ˅ (~q ˅ p)]       distributividad

[(~p ˅ ~p)˅(q ˅ ~q)]    ˄   [(~p ˅ p) ˅ (~q ˅ ~q)]      conmutatividad, asociatividad

[~p ˅ (v)]   ˄   [(v) ˅~q]                                           idempotencia, complemento 

         (v)    ˄    (v)                                                   identidad 

                (v)                                                           identidad

Como la proposición se simplifica al valor de verdad (V), ésta es una tautología.

Es decir la proposición compuesta es equivalente a una proposición más simple que resulta de la simplificación de la primera.

  RAZONAMIENTO

Definición de razonamiento lógico. ... Un razonamiento lógico, en definitiva, es un proceso mental que implica la aplicación de la lógica. A partir de esta clase de razonamiento, se puede partir de una o de varias premisas para arribar a una conclusión que puede determinarse como verdadera, falsa o posible.

EJEMPLO

¿Cuál es el menor número de personas que se requiere para que en una familia haya: un abuelo, una abuela, tres hijos, 3 hijas, 2 madres, 2 padres, una suegra, un suegro y una nuera?

A) 10        B) 9         C) 8            D) 13              E) 15

Desarrollo

Por lo tanto la respuesta sería la B) 9

DEMOSTRACIONES 

En matemáticas, una demostración o bien una prueba es un argumento deductivo para asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas.

En matemáticas, una demostración o bien una prueba es un argumento deductivo para asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas.2 En principio una demostración se puede rastrear hasta afirmaciones generalmente aceptadas, conocidas como axiomas.3 4 Las demostraciones son ejemplos de razonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos; una demostración debe demostrar que una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmación no probada que se cree verdadera se conoce como conjetura. 

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CONCLUSIONES

En general la lógica  matemático se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja.

Por otra parte las funciones son aplicables en todos los campos para obtener por medio de una serie de datos y cálculos unos resultados  que  nos permiten poder  determinar una serie de eventos como se producen o come se pueden evitar.