TIPOS DE CARDINALIDAD
Es
Simplemente la forma en que se relacionan las Entidades, o expresa cuantas
entidades se
Relacionan
con otras entidades. Hay varias maneras de mostrar las cardinalidades:
Poner
etiquetas en las líneas que unen las relaciones con las entidades, consiste en
un mínimo y máximo que contiene un cero (varios a varios) y lo usual es poner
una “M” en un
Existen
4 tipos de relaciones que pueden establecerse entre entidades, las cuales
establecen con cuantas ocurrencias de entidad de tipo B se puede relacionar una
ocurrencia de entidad de tipo A:
1. 4. Relación uno a uno.
2. 5. Relación uno a varios (n).
3. Relación varios (n) a uno.
4. Relación varios a varios (n)- (n)
TIPOS DE RELACIONES
Si
bien este tema es objeto de numerosos teóricos y asignatura fundamental en las
más importantes escuelas de informática del mundo, afrontemos el diseño
relacional de nuestras bases de datos desde un punto de vista ameno y práctico,
plagado de ejemplos, sin renunciar en nungún caso al rigor.
TABLE OF CONTENTS
SE PUEDEN DISTINGUIR TRES TIPOS DE
RELACIONES:
Relación Uno a Uno:
Cuando un registro de una tabla sólo puede estar relacionado con un único
registro de la otra tabla y viceversa.
Por ejemplo: tenemos dos tablas una con los datos de diferentes poblaciones y otra con una lista de Alcaldes, una población sólo puede tener un alcalde, y un alcalde lo será únicamente de una población.
Relación Uno a Varios: Cuando un registro de una tabla (tabla
secundaria) sólo puede estar relacionado con un único registro de la otra
tabla (tabla principal)y un registro de la otra tabla (tabla
principal) puede tener más de un registro relacionado en la primera
tabla (tabla secundaria).
Por ejemplo: tenemos dos tablas una con los datos de diferentes
poblaciones y otra con los habitantes, una población puede tener más de un
habitante, pero un habitante pertenecerá (estará empadronado) en una única
población.
Relación
Varios a Varios: Cuando un
registro de una tabla puede estar relacionado con más de un registro de la otra
tabla y viceversa.
Por ejemplo: tenemos dos tablas una con los datos de clientes y otra
con los artículos que se venden en la empresa, una cliente podrá realizar un
pedido con varios artículos, y un artículo podrá ser vendido a más de un
cliente.
Las relaciones varios a varios;. Se suelen representar definiendo una tabla intermedia
entre las dos tablas. Siguiendo el ejemplo anterior sería definir una tabla
líneas de pedido relacionado con clientes y con artículos.
CUANTIFICADORES
En lógica
matemática, teoría
de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son
símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos
de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad (por
ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden).
Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:
∀x,y…
Para todo x, y...
∃x,y…
Existe al menos un x, y...
∃!x,y…
4.
Existe exactamente un x, y...
Negación del cuantificador existencial
∄x,y…
No existe ningún x, y...
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO (existe un único…):
CUANTIFICADOR UNIVERSAL (para
todo…):
Se utiliza para afirmar que
TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad
determinada. Esto se expresa como:
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (Existe
al menos un…):
Se utiliza para indicar que
existen uno o más elementos en el conjunto A que
Cumple(n) con una condición
o propiedad determinada.
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO (existe un único…):
Se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto
A que cumple con una condición o propiedad determinada.
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Sea
p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
Las
operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.
‒ UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS.
Es
la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto
que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan.
Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B
estará formado por todos los elementos de A y con todos los elementos de B sin
repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de
unión es el siguiente: ∪∪.
Ejemplo 1.
Dados
dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos
será A∪∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Ven se
tendría lo siguiente:
‒ INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOS.
Es
la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y
los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩∩.
Ejemplo 1.
Dados
dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
‒ DIFERENCIA DE
CONJUNTOS.
Es
la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia
de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que
no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que
se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1.
Dados
dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
‒ DIFERENCIA DE SIMÉTRICA
DE CONJUNTOS.
Es
la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El
símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el
siguiente: △.
Ejemplo 1.
Dados
dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:
‒ COMPLEMENTO DE UN
CONJUNTO.
Es
la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado
un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al
conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un
apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el
conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1.
Dado
el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={3,4,5,6,7,8}, el
conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={1,2,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
PROPIEDADES
DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS
Propiedades de unión
– Propiedades
asociativas, si en una unión de tres o más conjuntos se
reemplazan dos conjuntos por su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado.
R∩S∩T=(R∩S)∩T
R∩S∩T=R∩(S∩T)
– Propiedades
conmutativas, Si en una unión se altera el orden de los
conjuntos, el resultado no varía.
R∪S∪T=S∪R∪T
R∪S∪T=T∪R∪S
Propiedades de la intersección
– Propiedad
asociativa, si en una intersección de tres o más
conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el
resultado total es el mismo.
R∪S∪T=(R∪S)∪T
R∪S∪T=R∪(S∪T)
– Propiedad
conmutativa, cambiando el orden de los conjuntos, la
intersección no se altera.
R∩S∩T=R∩T∩S
R∩S∩T=T∩R∩S
– Propiedad
distributiva
La unión es distributiva con respecto a la intersección.
(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)
La intersección de conjuntos es distributiva con respecto
a la unión.
(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)
PROPIEDADES DE LA
DIFERENCIA
La diferencia de conjuntos no es asociativa, la
diferencia de conjuntos no es conmutativa.
Ejemplo:
C= {x/x es el alumno que debe rendir español}
M={x/x es alumno que debe rendir matemáticas}
– 1° paso: Representación gráfica
– 2° paso: Ubicar en el conjunto C∩M los alumnos que deben rendir español pero
no matemáticas.
– 3° paso: 20 alumnos deben rendir español, de acuerdo con los datos, y 10
rinden sólo esta materia; entonces, los 10 restantes adeudan ambas materias y
se tienen que ubicar en C∩M
La diferencia es distributiva con respecto a la unión y a la intersección de
conjuntos.
– (R∪S)-T=(R-T)∪(S-T)
– (R∩S)-T=(R-T)∩(S-T)
– (R∩S)-T=(R-T)∩(S-T)
RELACIONES MATEMÁTICA
En matemática, Relación es
la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio , con un
segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a cada
elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones
anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones ,
pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que
toda ecuación es una Relación , pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B
una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par
ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una
relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo
1.
Dados los conjuntos C = {1,
–3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados ( x , y )
que satisfagan la relación
R = {( x , y )
/ x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano de C
x D está formado por los siguientes pares ordenados
Toda relación queda definida
si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante
la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de
partida corresponde al conjunto C , el conjunto de llegada es el
conjunto D y la expresión x + y = 3 es la
regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
FUNCIONES MATEMÁTICA
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio lecorresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).
En lenguaje cotidiano o más
simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común
que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas
pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada
telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que
depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál
sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la
izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha
son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces
"elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x 2 .
Para referirse a esta regla
podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de
función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el
número".
Usualmente se emplean dos
notaciones:
x --------> x 2 o f(x)
= x 2 .
Así, f(3) significa aplicar
la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual
modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a 2 , etc.
Ejemplo
1
Correspondencia entre las
personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Conjunto X
|
Conjunto Y
|
Ángela
|
55
|
Pedro
|
88
|
Manuel
|
62
|
Adrián
|
88
|
Roberto
|
90
|
Cada persona (perteneciente
al conjunto X o dominio ) constituye lo que se llama la entrada o variable
independiente . Cada peso (perteneciente al conjunto Y o condominio)
constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos
que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que
es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
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