NÚMEROS REALES

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjuntos numéricos. Son conjuntos de números. En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números como: naturales, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos.

Conjuntos numéricos. Son conjuntos de números. En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números como: naturales, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos.

1) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N).
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número infinito de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

2) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS CARDINALES (N*).
N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....} Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

3) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS (Q+)
Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}

Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución dicho conjunto.
Los números fraccionarios son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.

4) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z).
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos.
Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z ¯

Enteros Positivos: Z +

Enteros Positivos y el Cero: Z+ U {0}

Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.
Z = Z - U {0} U Z +

5) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Q.
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros.
Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

6) CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES (I). 

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135....

0,10200300004000005....

7) CONJUNTO DE NÚMEROS REALES (R).
R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}

Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. R= {Q U irracionales}.

8) CONJUNTO DE NÚMEROS IMAGINARIOS (I)

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1.
Debes tener en cuenta:
i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.

9) CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS (C)

La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C

OPERACIONES ENTRE  NÚMEROS REALES

Adición de Números Reales

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a+b=b+aa+b=b+a
al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a=−b+aa+(−b)=(−b)+a=−b+a
Por ejemplo, podemos tomar los dos sumandos, 77  y −11−11. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un término en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podría sumar 7+11 o 11+7 y esperar el mismo resultado que:

7+(−11)=−11+7=−47+(−11)=−11+7=−4
En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.

Sustracción de Números Reales

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−aa−b≠b−a
Donde a+(−b)a+(−b)  si es igual a (−b)+a(−b)+a. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

Multiplicación de números Reales

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=ca×b=c
Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

Ø +⋅+=++⋅+=+

Ø +⋅−=−+⋅−=−

Ø −⋅+=−−⋅+=−

Ø −⋅−=+−⋅−=+

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c−a×−b=c
Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−ca×−b=−c

−a×b=−c−a×b=−c
Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=da×−b×−c=d

a×−b×c=−da×−b×c=−d

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=aa×1=a
Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0a×0=0

División de números Reales

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

a−b=−ab=−aba−b=−ab=−ab
Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

Potenciación de números Reales

La potenciación tiene varias reglas como:

a0=1a0=1

a1=aa1=a
Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am×an=am+nam×an=am+n

am÷an=am−nam÷an=am−n
Potencia de potencia.

(am)n=am×n(am)n=am×n
Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an×bn=(a×b)nan×bn=(a×b)n

an÷bn=(a÷b)nan÷bn=(a÷b)n

Propiedades de Números Reales

Todo número real tiene su inverso, es decir que 8 tiene su inverso -8 así como ππ   tiene a -ππ .
El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.

RELACIÓN DE ORDEN

	En un orden total, orden lineal, orden simple, o simplemente orden en un conjunto X es una relación binaria sobre X que es: reflexiva, transitiva, antisimétrica, y total; esto es, si se denota una tal relación por ≤, lo siguiente vale para cualesquiera a, b, y c en X:

ü  si a pertenece a X, entonces a ≤ a (reflexiva).

ü  Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad).

ü  Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría).

ü  a ≤ b o b ≤ a (totalidad o completitud).

La propiedad de totalidad de esta relación se puede también describir como que todo par de elementos son comparables bajo la relación.

Por tanto, un orden total es un orden parcial que cumple la comparabilidad.

Un conjunto dotado de un orden total se denomina conjunto totalmente ordenado, linealmente ordenado, simplemente ordenado, o cadena.

Nótese que la condición de totalidad implica reflexividad, esto es, a ≤ a para todo a ∈ X; por lo tanto, un orden total es también un orden parcial, esto es, una relación binaria reflexiva, antisimétrica, y transitiva. Un orden total, entonces, puede también definirse como un orden parcial que sea "total", i.e. que cumpla con la condición de totalidad.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí­ por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raí­ces.
Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn, en donde a es un numero real y n es un entero no negativo.   Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.

monomio	binomio	trinomio
5X	5X + 2	χ² + X + 1

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.
 Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
 Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
 Ejemplo:

RAZONES Y PROPORCIONES

Las razones y proporciones, nosotros denominamos razón al cociente que es indicado por dos números y que representa la relación entre dos cantidades y una proporción a la igualdad que existe entre dos o más razones.

Razón. Una razón indica en forma de división la relación entre dos cantidades. Nos indica cuántas unidades hay en relación a las otras, y se suele indicar simplificando las fracciones.

Por ejemplo, si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:

24/18
24:18

Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos:

4/3
4:3
Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3.

Cada uno de los valores de una razón tiene un nombre. El valor que está del lado izquierdo de la relación, se le llama antecedente, y al valor del lado derecho se le llama consecuente.

En este caso, la relación de niñas respecto a los niños es una relación de 4 a 3, o de 4 niñas por cada 3 niños.

Proporción. La proporción indica mediante una igualdad la comparación de dos razones. Para escribir una proporción, debemos tener en cuenta que los valores antecedentes, siempre estén del mismo lado, al igual que los consecuentes.

En nuestro ejemplo del salón de clases, podemos comparar la razón que tenemos, de 4 niñas por cada 3 niños, y podremos calcular cuántos niños hay en un salón en relación al número de niñas o viceversa. Para esto, en primer lugar escribiremos la proporción que ya conocemos:
4:3
Después, un signo de igualdad
4:3=
Y después la cantidad total, por ejemplo la del mismo salón, recordando que debemos respetar el orden del antecedente y del consecuente. En nuestro ejemplo, el antecedente será el número de niñas, y el consecuente el número de niños.
4:3=24:18
Para comprobar la igualdad de la proporción, se efectúan dos multiplicaciones. En una proporción, tomaremos como referencia el signo de igualdad. Los números que están más cercanos, se llaman centros, y los números más lejanos son los extremos. En nuestro ejemplo, los números 3 y 24 son los más cercanos al signo igual, por lo que son los centros. El 4 y el 18, son los extremos. Para comprobar que la proporción es correcta, el producto de la multiplicación de los centros debe ser igual al producto de la multiplicación de los extremos:
3 X 24 = 72
4 X 18 = 72

PROPIEDADES.

A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a×d=b×c

B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de  los eztremos dividido por el otro MEDIO.

b= a×d͟∕c

C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

a=b×c∕d

PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.

EJEMPLO

3. Juan entrena ciclismo. La  siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla

N Vueltas	4	8		20	23		30
Tiempo	12		35			50

PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales.  El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.

Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.

EJEMPLO.

En  una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.

Nª DE GARRAFAS	CAPACIDAD DE GARRAFA (L=	PRODUCTO
10	28	280
20	14	280
40	7	280
70	4	280
140	2	280

Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes número de garrafas y su capacidad en litros  son inversamente proporcionales.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto es una función que representa la distancia de un punto al origen. Si tomamos un punto cualquiera x y este es positivo, la distancia de x al origen 0 es igual a x; si fuera negativo, la distancia de x al origen 0 es igual a -x.

Esto se debe a que una distancia no puede ser negativa, ya que no tendría sentido. Todas las distancias son positivas y por lo mismo, el valor absoluto de un número, que es una distancia, debe ser positivo.

EJEMPLOS: 

"6" está a 6 de cero, y "-6" también está a 6 de cero. Así que el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 también es 6

ü  El valor absoluto de -9 es 9

ü  El valor absoluto de 3 es 3

ü  El valor absoluto de -156 es 156

¡No negativos!

Así que en la práctica el "valor absoluto" significa quitar el signo negativo de delante de un número, y pensar en todos los números como números positivos.

Símbolo de valor absoluto

Para indicar el valor absoluto de algo, pones símbolos "|" a los lados, como en estos ejemplos:

|-5| = 5

|7| = 7

Restar de las dos maneras

No importa en qué orden hagas una resta, su valor absoluto siempre será el mismo:

|8-3| = 5	|3-8| = 5
(8-3 = 5)	(3-8 = -5, y |-5| = 5)

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones. Nota Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica simple:

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple solamente para algunos valores de las letras.
 

ELEMENTOS DE LA  ECUACIÓN

Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo igual ( =)

Términos: son los monomios de cada miembro.

Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación.

Grado de la ecuación: es el mayor exponente con que figura la incógnita (una vez realizadas todas las operaciones).

Soluciones: son los valores que deben tener las incógnitas para que la igualdad entre los miembros sea cierta.

INECUACIONES

Una inecuación es una relación de desigualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o más incógnita. Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de la incógnita para los que se cumple la relación de desigualdad.

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

Ejemplos

1. 2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

(-∞, 4)

2. 2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

SUCESIONES

Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su condominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

CONJUNTOS

TIPOS DE CARDINALIDAD

Es Simplemente la forma en que se relacionan las Entidades, o expresa cuantas entidades se

Relacionan con otras entidades. Hay varias maneras de mostrar las cardinalidades:

Poner etiquetas en las líneas que unen las relaciones con las entidades, consiste en un mínimo y máximo que contiene un cero (varios a varios) y lo usual es poner una “M” en un

Existen 4 tipos de relaciones que pueden establecerse entre entidades, las cuales establecen con cuantas ocurrencias de entidad de tipo B se puede relacionar una ocurrencia de entidad de tipo A:

1.    4. Relación uno a uno.

2.    5. Relación uno a varios (n).

3.    Relación varios (n) a uno.

4.    Relación varios a varios (n)- (n)

TIPOS DE RELACIONES

GENERAL

Si bien este tema es objeto de numerosos teóricos y asignatura fundamental en las más importantes escuelas de informática del mundo, afrontemos el diseño relacional de nuestras bases de datos desde un punto de vista ameno y práctico, plagado de ejemplos, sin renunciar en nungún caso al rigor.

TABLE OF CONTENTS

1.     Relaciones "uno a uno"

2.     Relaciones de "uno a varios"

3.     Relaciones de "varios con varios"

4.     Conclusión

SE PUEDEN DISTINGUIR TRES TIPOS DE RELACIONES:

Relación Uno a Uno: Cuando un registro de una tabla sólo puede estar relacionado con un único registro de la otra tabla y viceversa.

Por ejemplo: tenemos dos tablas una con los datos de diferentes poblaciones y otra con una lista de Alcaldes, una población sólo puede tener un alcalde, y un alcalde lo será únicamente de una población.

Relación Uno a Varios: Cuando un registro de una tabla (tabla secundaria) sólo puede estar relacionado con un único registro de la otra tabla (tabla principal)y un registro de la otra tabla (tabla principal) puede tener más de un registro relacionado en la primera tabla (tabla secundaria).

Por ejemplo: tenemos dos tablas una con los datos de diferentes poblaciones y otra con los habitantes, una población puede tener más de un habitante, pero un habitante pertenecerá (estará empadronado) en una única población.

Relación Varios a Varios: Cuando un registro de una tabla puede estar relacionado con más de un registro de la otra tabla y viceversa.

Por ejemplo: tenemos dos tablas una con los datos de clientes y otra con los artículos que se venden en la empresa, una cliente podrá realizar un pedido con varios artículos, y un artículo podrá ser vendido a más de un cliente.

Las relaciones varios a varios;. Se suelen representar definiendo una tabla intermedia entre las dos tablas. Siguiendo el ejemplo anterior sería definir una tabla líneas de pedido relacionado con clientes y con artículos.

CUANTIFICADORES

En lógica matemática, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:

1.    Cuantificador universal

∀x,y…

Para todo x, y...

2.    Cuantificador existencial

∃x,y…

Existe al menos un x, y...

3.    Cuantificador existencial único

∃!x,y…

4.    Existe exactamente un x, y...

Negación del cuantificador existencial

∄x,y…

No existe ningún x, y...

CUANTIFICADOR UNIVERSAL (para todo…):

Se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (Existe al menos un…): 

Se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que

Cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO (existe un único…):

       Se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada.

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

      Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.

‒ UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS.

Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B estará formado por todos los elementos de A y con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪∪.

Ejemplo 1.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente:

‒ INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.

Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩∩.

Ejemplo 1.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

‒ DIFERENCIA DE CONJUNTOS.

Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.

Ejemplo 1.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

‒ DIFERENCIA DE SIMÉTRICA DE CONJUNTOS.

Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.

Ejemplo 1.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

‒ COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO.

Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.

Ejemplo 1.

Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={3,4,5,6,7,8}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={1,2,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

Propiedades de unión

– Propiedades asociativas, si en una unión de tres o más conjuntos se reemplazan dos conjuntos por su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado.

R∩S∩T=(R∩S)∩T

R∩S∩T=R∩(S∩T)

– Propiedades conmutativas, Si en una unión se altera el orden de los conjuntos, el resultado no varía.

R∪S∪T=S∪R∪T

R∪S∪T=T∪R∪S

Propiedades de la intersección

– Propiedad asociativa, si en una intersección de tres o más conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el resultado total es el mismo.

R∪S∪T=(R∪S)∪T

R∪S∪T=R∪(S∪T)

– Propiedad conmutativa, cambiando el orden de los conjuntos, la intersección no se altera.

R∩S∩T=R∩T∩S

R∩S∩T=T∩R∩S

– Propiedad distributiva

La unión es distributiva con respecto a la intersección.

(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)

La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión.

(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA

La diferencia de conjuntos no es asociativa, la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

Ejemplo:

C= {x/x es el alumno que debe rendir español}

M={x/x es alumno que debe rendir matemáticas}

– 1° paso: Representación gráfica

– 2° paso: Ubicar en el conjunto C∩M los alumnos que deben rendir español pero no matemáticas.

– 3° paso: 20 alumnos deben rendir español, de acuerdo con los datos, y 10 rinden sólo esta materia; entonces, los 10 restantes adeudan ambas materias y se tienen que ubicar en C∩M

La diferencia es distributiva con respecto a la unión y a la intersección de conjuntos.

– (R∪S)-T=(R-T)∪(S-T)
– (R∩S)-T=(R-T)∩(S-T)

RELACIONES MATEMÁTICA

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio , con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones , pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación , pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo 1.

Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados ( x , y ) que satisfagan la relación

R =  {( x , y ) / x + y = 3}

Solución

El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C , el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

FUNCIONES MATEMÁTICA

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio lecorresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 -------->   1

2 -------->   4

3 -------->   9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 -------->   1

2 -------->   4

3 -------->   9

4 --------> 16

x -------->   x 2 .

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x 2 o f(x) = x 2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a 2 , etc.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio ) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente . Cada peso (perteneciente al conjunto Y o condominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.